数学通,读书笔记 | 数学通识01 - 数学三大危机

数学通要钱吗

不要钱。《数学通》是2010年7月1日龙门书局出版的图书，作者是范建华。根据查询相关资料显示，数学通不要钱。《金牌入学准备门门通》专邀请了多位有丰富教学经验的专家和教师编写，内容符合《幼儿园教育指导纲要》和小学一年级教学大纲的相关要求。

读书笔记 | 数学通识01 - 数学三大危机

开始学习吴军教授的数学通识课程。里面讲到了数学的第一次危机，比较震撼我。通过看评论也了解到还有几次危机，一时起意就整理一份相关资料，给同样感兴趣的朋友们。

吴军老师讲数学通识就是从 毕达哥拉斯定理 开始讲的，他认为这是数学的起点。

毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别： 毕达哥拉斯学派 。毕达哥拉斯创造的逻辑论证 *** 奠定了现代科学的 *** 论。

毕达哥拉斯坚信世界的本源是数字，而数字必须是完美的。整数很完美，而且分数的分子分母也都是整数，不会是零碎的，因此也很完美。

据说毕达哥拉斯的学生 希帕索斯 提出了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。这一类的数字其实很多，今天它们被统称为无理数。

这一说法严重挑战了毕达哥拉斯的完美数学理论，让他无法自圆其说，这就是数学的第一次危机。

毕达哥拉斯为了维系自己的理论或宗教，把这位学生扔到大海里杀死了，这也成为毕达哥拉斯这位泰斗级人物的一大污点。

牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方。

英国大主教贝克莱提出了有名的「贝克莱悖论」：

△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的。直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。

十九世纪下半叶，康托创立了著名的集合论。数学家们发现，从自然数与康托集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。

但是，还有罗素悖论。

1902 年，32 岁的英国数学家罗素给病中的康托写了一封信，据说罗素在信里举了一个例子：

村子里有一个理发师，脾气很怪，他工作起来有一条规矩，就是只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。

罗素写信请教康托：这个理发师如果遵循这条原则，那他要不要给自己刮胡子呢？罗素这封信里描述的矛盾后来被称为罗素悖论，也叫做理发师悖论。正是这个悖论挑战了康托的集合论理论，从而带来了数学的第三次危机。

直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。

数学理论必须要证明，保证没有例外。

数学通项公式

八种求数列通项公式的 ***

一、公式法

例1 已知数列 满足 ,,求数列 的通项公式.

两边除以 ,得 ,则 ,故数列 是以 为首项,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 ,所以数列 的通项公式为 .

评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,说明数列 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 ,进而求出数列 的通项公式.

二、累加法

例2 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

由 得 则

所以数列 的通项公式为 .

评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式.

例3 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

由 得 则

所以

评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式.

例4 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

两边除以 ,得 ,

则 ,故

因此 ,

则

评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式,最后再求数列 的通项公式.

三、累乘法

例5 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

因为 ,所以 ,则 ,故

所以数列 的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ,进而求出 ,即得数列 的通项公式.

例6已知数列 满足 ,求 的通项公式.

因为 ①

所以 ②

用②式－①式得

则

故

所以 ③

由 ,,则 ,又知 ,则 ,代入③得 .

所以,的通项公式为

评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,进而求出 ,从而可得当 的表达式,最后再求出数列 的通项公式.

四、待定系数法

例7 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

设 ④

将 代入④式,得 ,等式两边消去 ,得 ,两边除以 ,得 代入④式得 ⑤

由 及⑤式得 ,则 ,则数列 是以 为首项,以2为公比的等比数列,则 ,故 .

评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式.

例8 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

设 ⑥

将 代入⑥式,得

整理得 .

令 ,则 ,代入⑥式得

⑦

由 及⑦式,

得 ,则 ,

故数列 是以 为首项,以3为公比的等比数列,因此 ,则 .

评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求数列 的通项公式.

例9 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

设 ⑧

将 代入⑧式,得

,则

等式两边消去 ,得 ,

解方程组 ,则 ,代入⑧式,得

⑨

由 及⑨式,得

则 ,故数列 为以 为首项,以2为公比的等比数列,因此 ,则 .

评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式.

五、对数变换法

例10 已知数列 满足 ,,求数列 的通项公式.

因为 ,所以 .在 式两边取常用对数得 ⑩

设 11

将⑩式代入11式,得 ,两边消去 并整理,得 ,则

,故

代入11式,得 12

由 及12式,

得 ,

则 ,

所以数列 是以 为首项,以5为公比的等比数列,则 ,因此

则 .

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为 ,从而可知数列 是等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式.

六、迭代法

例11 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

因为 ,所以

又 ,所以数列 的通项公式为 .

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式.即先将等式 两边取常用对数得 ,即 ,再由累乘法可推知 ,从而 .

七、数学归纳法

例12 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

由 及 ,得

由此可猜测 ,往下用数学归纳法证明这个结论.

（1）当 时,,所以等式成立.

（2）假设当 时等式成立,即 ,则当 时,

由此可知,当 时等式也成立.

根据（1）,（2）可知,等式对任何 都成立.

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明.

八、换元法

例13 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.

令 ,则

故 ,代入 得

即

因为 ,故

则 ,即 ,

可化为 ,

所以 是以 为首项,以 为公比的等比数列,因此 ,则 ,即 ,得

.

评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ,使得所给递推关系式转化 形式,从而可知数列 为等比数列,进而求出数列 的通项公式,最后再求出数列 的通项公式.

吴军--数学通识讲义--函数：重要的数学工具

函数的共性：

1.函数里都有变量。像 这样的抛物线函数，x就是变量；

2.它们都有一种对应关系。给定x的值，就能算出y的值；

3.上述的对应关系都是确定的。一个变量只能对应一个值，而不是多个值

4.函数所对应的关系可以通过数学的 *** 或者其他 *** 算（或者找）出来。

在函数中，虽然变量可以随意变，但它有一些特定的限制条件或范围，这个范围被称为定义域。如圆的面积S是半径r的函数，但半径r不能是负数就是限制条件。

在科学启蒙时代，解析几何的出现及天文学和物理学的发展对函数的出现起到了至关重要的作用。

有了函数，人类在认识上进了三大步。

1.很容易看出两个变量之间是怎样相互影响的；

2.让我们从对具体事物、具体数的关注，变成了对趋势的关注，而且可以非常准确地度量变化趋势所带来的差异；

3.作为数学工具的作用。

函数因果关系的特殊之处：

1.数学上的因果关系和生活中的可能不完全相同。如:物理学中的因果关系是单方向的，数学函数中的因果关系可能是可以互换的，如：圆的面积。

2.当一个函数（体积）随着多个变量变化时，单独一个变量和函数值未必有因果关系。

例如：投资时，高回报率的项目拿回来的钱不一定比低回报率的多，因为高回报率必定带来高风险性，一旦发生风险，那高回报率甚至比低回率的回报还要低。

今天很多学术专著，也是从特定视角看待问题。万维钢老师讲过一句话，人文和社会学科与自然科学领域特点完全不同，前者更像是江湖，学者们彼此很难互相说服。（比如心理学就有多个派别。）

吴军--数学通识讲义--基础篇--理解数学的线索

勾股定理，在西方被称为“毕达哥拉斯定理”。

关于数学上的定理，找到一个特例和提出一种具有普遍意义的陈述，是完全不同的两件事。其次，命题还不等定定理。最后，有用的猜想从逻辑上被证明了，才能成为定理。

研究数学和自然科学有三方面的不同：

1.测量和逻辑推理的区别

在自然科学中，我们基于测量和观察得到量化的结论。但在数学上的结论只能从定义和公理出发，使用逻辑，通过严格证明来得到，不能靠经验总结出来。

2.事实证实和逻辑证明的区别

自然科学的定律和理论，尽管被实验证实了，但其实实验的置信度不可能是100%，都存在一个很小的被推翻的可能性。但在数学上，决不允许实验下验证一个假说（猜想）正确与否。只能从逻辑出发，通过归纳或者演绎得出来。它要么完全正确，没有例外；要么会因为一个例外，被完全否定，没有大致正确的说法。

3.科学结论相对性和数学结论绝对性的区别

因为数学中的每一个定理都是一块基石，在此基础上才会有下一块新的基石。例如由勾股定理，三角学才得以建立，解析同何才得以确立，然后才有微积分等等。

无理数是毕达哥拉斯定理的推论，但它也带来数学思想的大飞跃，说明人类对数字的认识还具有局限性，需要有新的思想和理论。

亚当●赖斯等人通过计算,发现宇宙的质量是负数，所以他们认定宇宙中一定存在我们看不见、更不了解的东西，就是所谓的暗能量，赖斯等人也因此获得了2011年诺贝尔物理学奖。

数学思维是从不可能变的事实出发，利用逻辑找出矛盾，发现问题，然后再设法解决问题。不可能变的事实，比如说宇宙中基本粒子的数量是有限的，任何经济增长都不可能是长期翻番的。具体到金融中，就是任何建立在空中楼阁上的复利增长都难以持续，比如庞氏骗局。

学习数学最有价值的地方是，接受一种逻辑训练，形成理性思维的习惯，在生活中善于找出矛盾、发现问题，然后用逻辑的 *** 找到答案并采取行动。

黄金分割（1：0.618或1.618:1）是数学和美学的桥梁。台风的形状乃至银河系的开关在者是黄金分割的比例，它反映了宇宙自身的一个常数。包括帕特农神庙的设计者、达芬奇、埃菲尔都知道黄金分割，并且刻意使用了这个比例。

我们可以在艺术创作中采用两点和多点透视。艺术不仅需要数学，也需要光学。印象派绘画的一大特点，就是很好地利用了当时人类在物理上对于色彩和亮度认识的进步。

优选法有两个含义：首先它能够找到实际问题的最优解；其次，它强调寻找最优解的 *** 本身也应该是最简单的，或者说是最优的。

优选法的原理基于黄金分割，华先生又称为“0.618法。” 华罗庚先生的过人之处在于，他找到了一种让一线职工都很容易掌握和使用的数学 *** ，这是真正大师的水平。

把数学原则在生活中用起来。

比如摄影时，将照片中的主角放在黄金分割点处，照片画面会显得平衡而又不乏灵动。

在投资的配比上，建议将62%左右的资产放在回报高、风险也相对高的股市上。在剩余的大约38%的资产中，大约24%的资产放在相对稳妥的债券上，这一值大概是38%的黄金分割点。最后的百分之十几的资产，则是各种复杂的组合投资。

在制定旅行计划时，如果你有10天时间，前6天可以搜集信息、做比较，第7天做决定，这时候的决定很大程度上会是最优的。